$\overrightarrow{A}= \hat{i} + \hat{j}, \overrightarrow{B } = \hat{k}, \overrightarrow{C} = \hat{i}- \hat{j}$ ভেক্টর তিনটির ক্ষেত্রে,

$i. \overrightarrow{A} ও \overrightarrow{C}$ একই রেখায় অবস্থিত

$ii. \overrightarrow{B} ও \overrightarrow{C}$ পরস্পর লম্ব

$iii. \overrightarrow{A} ও \overrightarrow{B}$ অঘূর্ণনশীল 

নিচের কোনটি সঠিক?

প্রদত্ত ভেক্টর তিনটি হলো:

    
• \(\vec{A} = \hat{i} + \hat{j}\)
    
• \(\vec{B} = \hat{k}\)
    
• \(\vec{C} = \hat{i} - \hat{j}\)

এবার প্রতিটি বিবৃতি বিশ্লেষণ করা যাক:

১. বিবৃতি (i): \(\vec{A}\) ও \(\vec{C}\) একই রেখায় অবস্থিত।

দুটি ভেক্টর একই রেখায় অবস্থিত বা সমান্তরাল হয় যদি তাদের ক্রস গুণফল (cross product) শূন্য হয়, অথবা একটি ভেক্টর অন্য ভেক্টরের স্কেলার গুণিতক হয়।

\(\vec{A} = \hat{i} + \hat{j}\)

\(\vec{C} = \hat{i} - \hat{j}\)

যদি \(\vec{A} = k\vec{C}\) হয়, যেখানে \(k\) একটি স্কেলার:

\(\hat{i} + \hat{j} = k(\hat{i} - \hat{j})\)

\(\hat{i} + \hat{j} = k\hat{i} - k\hat{j}\)

এখানে, \(\hat{i}\) উপাংশ তুলনা করে পাই \(1 = k\)।

\(\hat{j}\) উপাংশ তুলনা করে পাই \(1 = -k\), অর্থাৎ \(k = -1\)।

যেহেতু \(k\)-এর মান সামঞ্জস্যপূর্ণ নয় (\(1 \neq -1\)), তাই \(\vec{A}\) ও \(\vec{C}\) একই রেখায় অবস্থিত নয়।

বিকল্পভাবে, তাদের ক্রস গুণফল নির্ণয় করি:

\(\vec{A} \times \vec{C} = (\hat{i} + \hat{j}) \times (\hat{i} - \hat{j})\)

\(= (\hat{i} \times \hat{i}) - (\hat{i} \times \hat{j}) + (\hat{j} \times \hat{i}) - (\hat{j} \times \hat{j})\)

আমরা জানি: \(\hat{i} \times \hat{i} = 0\), \(\hat{j} \times \hat{j} = 0\), \(\hat{i} \times \hat{j} = \hat{k}\), \(\hat{j} \times \hat{i} = -\hat{k}\)

\(= 0 - \hat{k} + (-\hat{k}) - 0\)

\(= -2\hat{k}\)

যেহেতু \(\vec{A} \times \vec{C} \neq 0\), তাই ভেক্টর দুটি একই রেখায় অবস্থিত নয়।

সুতরাং, বিবৃতি (i) ভুল।

২. বিবৃতি (ii): \(\vec{B}\) ও \(\vec{C}\) পরস্পর লম্ব।

দুটি ভেক্টর পরস্পর লম্ব হয় যদি তাদের ডট গুণফল (dot product) শূন্য হয়।

\(\vec{B} = \hat{k} = 0\hat{i} + 0\hat{j} + 1\hat{k}\)

\(\vec{C} = \hat{i} - \hat{j} = 1\hat{i} - 1\hat{j} + 0\hat{k}\)

তাদের ডট গুণফল নির্ণয় করি:

\(\vec{B} \cdot \vec{C} = (0)(1) + (0)(-1) + (1)(0)\)

\(= 0 + 0 + 0 = 0\)

যেহেতু \(\vec{B} \cdot \vec{C} = 0\), তাই ভেক্টর \(\vec{B}\) ও \(\vec{C}\) পরস্পর লম্ব।

সুতরাং, বিবৃতি (ii) সঠিক।

৩. বিবৃতি (iii): \(\vec{A}\) ও \(\vec{B}\) অঘূর্ণনশীল (irrotational)।

অঘূর্ণনশীলতা (irrotationality) সাধারণত ভেক্টর ক্ষেত্রের (vector field) একটি বৈশিষ্ট্য। একটি ভেক্টর ক্ষেত্র \(\vec{F}\) কে অঘূর্ণনশীল বলা হয় যদি এর কার্ল (curl) শূন্য হয়, অর্থাৎ, \(\nabla \times \vec{F} = 0\)।

যদি \(\vec{A}\) এবং \(\vec{B}\) কে ধ্রুবক ভেক্টর ক্ষেত্র হিসেবে বিবেচনা করা হয়, অর্থাৎ, \(\vec{A}(x,y,z) = \hat{i} + \hat{j}\) এবং \(\vec{B}(x,y,z) = \hat{k}\), তবে তাদের কার্ল নির্ণয় করা যায়।

\(\nabla \times \vec{A} = \left| \begin{matrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ 1 & 1 & 0 \end{matrix} \right|\)

\(= \hat{i} \left( \frac{\partial}{\partial y}(0) - \frac{\partial}{\partial z}(1) \right) - \hat{j} \left( \frac{\partial}{\partial x}(0) - \frac{\partial}{\partial z}(1) \right) + \hat{k} \left( \frac{\partial}{\partial x}(1) - \frac{\partial}{\partial y}(1) \right)\)

\(= \hat{i}(0 - 0) - \hat{j}(0 - 0) + \hat{k}(0 - 0)\)

\(= 0\)

একইভাবে,

\(\nabla \times \vec{B} = \left| \begin{matrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right|\)

\(= \hat{i} \left( \frac{\partial}{\partial y}(1) - \frac{\partial}{\partial z}(0) \right) - \hat{j} \left( \frac{\partial}{\partial x}(1) - \frac{\partial}{\partial z}(0) \right) + \hat{k} \left( \frac{\partial}{\partial x}(0) - \frac{\partial}{\partial y}(0) \right)\)

\(= \hat{i}(0 - 0) - \hat{j}(0 - 0) + \hat{k}(0 - 0)\)

\(= 0\)

যেহেতু উভয় ভেক্টরকে ধ্রুবক ভেক্টর ক্ষেত্র হিসেবে বিবেচনা করলে তাদের কার্ল শূন্য হয়, তাই \(\vec{A}\) ও \(\vec{B}\) উভয়ই অঘূর্ণনশীল।

সুতরাং, বিবৃতি (iii) সঠিক।

বিবৃতি (ii) ও (iii) সঠিক।